Beweis f(f^−1(A)) ⊆ A

Question

Aufgabe:

Seien M,N Mengen, A ⊆ N, M ⊆ P(N) und f : M → N. Zeigen Sie

f(f ^-1 (A)) ⊆ A

Warum gilt im Allgemeinen keine Gleichheit in der Formel?

Problem/Ansatz:

Wie beweise ich das?

Comments

Hallo,

stimmt der Aufgabentext so. Ich wundere mich über \(M \sube P(N)\)?

Gruß Mathhilf

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Ja, darüber war noch ein anderer Aufgaben Teil. Den habe ich schon gelöst, deshalb ist er hier nicht mit aufgeführt.

Answer 1

Hallo :-)

Du kannst es per Widerspruch zeigen:

Angenommen, es gelte \(f(f^{-1}(A))\not \subseteq A\), d.h. es gibt mindestens ein \(y\in f(f^{-1}(A))\) mit \(y\not \in A\). Wegen \(y\in f(f^{-1}(A))\) ist \(f(w)=y\) für ein \(w\in f^{-1}(A)\). Demnach ist \(f(w)\in A\). Es gilt aber \(y=f(w)\), sodass \(y\in A\). Das ist ein Widerspruch zur Annahme.

Warum gilt im Allgemeinen keine Gleichheit in der Formel?

Betrachte folgendes Beispiel:

$$ f:\underbrace{\{1,2,3\}}_{=:M}\to \underbrace{\{4,5,6\}}_{=:N} $$

mit \(f(1)=4, \quad f(2)=4, \quad f(3)=6\).

Setze nun zb \(A:=\{5\}\). Dann gilt \(f^{-1}(A)=f^{-1}(\{5\})=\{\}\) und man hat \(f(f^{-1}(A))=f(\{\})=\{\}\subseteq A\).

Comments

Ahh, ich verstehe. Vielen lieben Dank für die Antwort. :)