Integration, Statistik p(x)=c*e^{-Kx} integrieren

Question

Eine kontinuierliche Zufallsgröße \( x \in[0, \infty) \) sei exponentialverteilt mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte \( p(x)=c \mathrm{e}^{-\lambda x} \), wobei \( c \) und \( \lambda \) konstant sind.

a) Bestimmen Sie die Konstante \( c \) mit Hilfe der Normierungsbedingung \( \int \limits_{0}^{\infty} p(x) \mathrm{d} x=1 \).

b) Berechnen Sie den Erwartungswert \( E(x)=\int \limits_{0}^{\infty} x p(x) \mathrm{d} x \) mit Hilfe Partieller Integration.

Comments

$$\int _{ 0 }^{ \infty  }{ p(x)\quad dx=1 } \\ \\ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ c*{ e }^{ -\lambda x }\quad dx=1 } $$

Ist das soweit korrekt?

c und λ verändern sich nicht. Nur x kann abgeleitet werden oder nur von x kann die Stammfunktion gebildet werden. Die Ableitung von der e-Funktion ist wieder die e-Funktion.

 

 

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zu a) : Kann es sein, dass nur x rauskommt?

zu b) : Der Vorfaktor ist x, d.h. das x steht vor der konstanten Variable c (2. Formel von oben). Und ich komme wieder auf das Ergebnis x. Aber das kann doch nicht sein, oder?

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$$a)\\ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ p(x)\quad dx=1 } \\ \\ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ c*{ e }^{ -\lambda x }\quad dx=1 } \\ \\ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ c*{ e }^{ -\lambda x }\quad dx=1 } \\ =x\\ \\ b)\\ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ x*c*{ e }^{ -\lambda x }\quad dx=1 } \\ =x$$

Answer 1

Ich benutze K statt Lambda und nehme an, dass K> 0.

∫ c e^{-Kx} dx = - c*1/K e^{-Kx}      |₀^∞

= (-c /K * 0) - (-c*1/K) = c/K  = 1     nach Voraussetzung.

==> c=K

Beachte nun bei b) die Stammfunktion von e^{-Kx}  ist -1/K * e^{-Kx}. Dann kannst du partiell integrieren und nach einem Schritt auf die obige Stammfunktion zurückgreifen.

∫ x * K e^-Kx dx = - x* K*1/K e^-Kx - ∫ -  e^-Kx dx

=  - x* e^-Kx +  ∫   e^-Kx dx

=  - x* e^-Kx - 1/K   e^-Kx         |_o^∞

= 0  - (-0 -1/K)

= 1/K

Bitte nachrechnen!

Stimmt aber zumindest mit den Fakten zur Exponentialverteilung überein. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung