Zeigen Sie für alle x, y, z ∈ K

Question

Aufgabe:

3. Für einen geordneten Körper \( K \) sei der Betrag
\( \begin{aligned} |\cdot|: K & \rightarrow K, \\ x & \mapsto\left\{\begin{array}{cc} x & \text { für } x \geq 0 \\ -x & \text { für } x<0 \end{array}\right. \end{aligned} \)
Zeigen Sie für alle \( x, y, z \in K \)
\( |x+y| \leq|x|+|y|, \quad|x-z| \leq|x-y|+|y-z| \quad \text { und } \quad|| x|-| y|| \leq|x+y| \)
(Tipp zur ersten Ungleichung: Quadrieren Sie beide Seiten)

Answer 1

Aloha :)

zu a) Es ist \(\left(\pm x\le|x|\right)\) und \(\left(\pm y\le|y|\right)\), daher gilt:$$x+y\le|x|+|y|\quad\text{und}\quad -(x+y)=(-x)+(-y)\le|x|+|y|$$Das können wir zusammenfassen zu:$$|x+y|\le |x|+|y|$$

zu b) Hier können wir das Ergebnis von (a) direkt anwenden:$$|x-z|=|(x-y)+(y-z)|\stackrel{(a)}{\le}|x-y|+|y-z|$$

zu c) Wieder können wir (a) anwenden:$$|x|=|x-y+y|\stackrel{(a)}{\le}|x-y|+|y|\quad\Longleftrightarrow\quad|x|-|y|\le|x-y|$$$$|y|=|y-x+x|\stackrel{(a)}{\le}|y-x|+|x|\quad\Longleftrightarrow\quad-(|x|-|y|)\le|x-y|$$Wie bei (a) können wir das zusammenfassen zu:$$||x|-|y||\le|x-y|$$