Nullstellen und Extremwerte einer Funktion mit Logarithmus

Question

Ich habe folgende Funktion gegeben und soll dazu die Nullstellen und Extremwerte ausrechnen.

\( f(x)=\frac{1}{2} x * \ln \left(\frac{x^2}{5}\right) \)

Bei den Nullstellen habe ich mir das so gedacht, dass wenn ein Faktor 0 wird, als Ergebnis 0 rauskommt, weshalb die erste Nullstelle x₁ = 0 sein muss.

Bei der zweiten Nullstelle ( ich gehe davon aus, dass diese Funktion 2 Nullstellen hat, wegen dem x², ist das überhaupt richtig bei Funktionen mit ln?) dachte ich wie folgt:

Da ln(1)=0 muss ich (x²/5) = 1  setzen.

Als Ergebnis erhalte ich dann x₂ = √5

Ist das erst einmal richtig? Ich habe zu den Aufgaben leider keine Lösung gegeben.

Answer 1

Da ln(1)=0 muss ich (x²/5) = 1  setzen.

Als Ergebnis erhalte ich dann x₂ = √5

x₃ = -√5 geht auch.

Es gibt da noch ein Problem mit x₁ = 0. Deine Funktion hat dort eine Definitionslücke. D.h. x₁ = 0 ist keine richtige Nullstelle, obschon's auch so aussieht:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2+x+ln%28x%5E2%2F5%29

Die Resultate im Link kannst du auch zur Kontrolle der Ableitungen etc. benutzen.

Answer 2

Das hast du fast alles ganz richtig überlegt und berechnet.

Es fehlt noch die Nullstelle - √ 5

Hier der Graph der Funktion f(x):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5+x*ln%28x%C2%B2%2F5%29

Man erkennt sehr gut die drei Nullstellen.