Nullstellen bei Logarithmus Funktion berechnen?

Question

Aufgabe:

Nullstellen berechnen:

g(x)=log(x^2+5x-6)-lg(x)-1

Problem/Ansatz:

Nst.:
log(x^2+5x-6)-lg(x)-1=0
log(x^2+5x-6)=lg(x)+1 | *e
x^2*5x+6=x+1*e

Weiß jemand wie man hier die Nummstellen berechnen kann? bzw gibt es überhaupt welche im bereich der reellen Zahlen?

Answer 1

Da steht einmal \(\log\), einmal \(\lg\). Du behandelst beide gleich wie \(\ln\) - sicher, dass es so gemeint ist?

Wenn ja:

Von der zweiten zur dritten Zeile:

1. wende rechts das \(e^{...}\) richtig an (schrittweise, nicht im Kopf zwei Schritte auf einmal).

2. beseitige auf der linken Seite die beiden Tippfehler.

Danach erhältst Du eine quadratische Gleichung, deren Lösung kein Problem darstellen sollte.

Comments

Ich meinte auf beiden Seiten lg. Verändert dies etwas? Das e verschwindet doch nicht auf der rechten Seite. Das deutet doch darauf hin dass die Funktion im Bereich der reellen Zahlen keine nst hat

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lg ist der 10er-logarithmus, also mit \(10^{...}\) arbeiten.

Am Ende gibt es wg Definitionsbereich nur eine Nullstelle, x=6.

Answer 2

Ich meinte auf beiden Seiten lg.

\( \displaystyle \lg(x^2+5x-6)-\lg(x)-1=0 \)

\( \displaystyle \lg\left(\frac{x^2+5x-6}{x}\right)=1 \)

\( \displaystyle \frac{x^2+5x-6}{x}=10 \)

\( \displaystyle x^2+5x-6=10x \)

\( \displaystyle x^2-5x-6=0 \)

Comments

Danke. Nullstellen sind 6 und -1. Da lg nur für positive Zahlen definiert ist, wird nur 6 die richtige nullstelle sein oder?

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Nein. Lass Dir den Funktiongraphen anzeigen, dann siehst Du es.

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Danke. Nullstellen sind 6 und -1. Da lg nur für positive Zahlen definiert ist, wird nur 6 die richtige nullstelle sein oder?

x^2-5x-6 = 0

(x-6)(x+1)=0

x=6 v x= -1, nach Vieta

Für x= -1 ist g(x) nicht definiert.

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Für x= -1 ist g(x) nicht definiert.

Aha. Echt nicht?

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lg(-1) ist nicht definiert.

Irgendetwas stimmt dann hier nicht.

10^y= -1

Es gibt kein y, das diese Gleichung erfüllt. So what?

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Irgendetwas stimmt dann hier nicht.

g(-1) ist ja nicht lg(-1)

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g(-1) ist nicht definiert.

Wie kann wolfram da 2 Lösungen ausspucken?

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g(-1) ist nicht definiert

Echt nicht?

ich schrieb oben:

g(-1) ist ja nicht lg(-1)

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Muss nicht g(x) für alle Terme definiert sein, aus den es besteht?

Ich darf doch -1 für x nicht einsetzen oder doch?

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Dann forme den behämmerten Funktionsterm halt um.

Zum Beispiel so, wie es in meiner Antwort steht.

\( \displaystyle g(x)=\lg(x^2+5x-6)-\lg(x)-1=\lg\left(\frac{x^2+5x-6}{x}\right)-1 \)

\( \displaystyle g(-1)=\lg\left(\frac{1-5-6}{-1}\right)-1 =\lg(10)-1= 0\)

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Warum ist das zulässig? D muss doch für jede Darstellung gelten.

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Warum ist das zulässig?

Da wo ich herkomme, sagt man "Logarithmengesetze" dazu.

Andernorts so (links die Kurzversion, rechts die Schönschreibversion):

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Und da, wo ich herkomme, ist log(-1) nicht definiert.

Da man gewöhnlich D am Anfang festlegt, fällt -1 raus. Erkläre mir bitte diesen Sonderfall? Was ist des Pudels/logs Kern? Wie löst man das Dilemma auf?

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Mit den Logarithmengesetzen. Du findest sie beispielsweise hier.

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Wie löst man das Dilemma auf?

\(x=-1\) ist in diesem Fall genau dann auch eine Lösung, wenn man für den Logarithmus komplexe Zahlen zulässt.

Wolfram Alpha sagt dazu:

x = -1 (assuming a complex-valued logarithm)

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Ich verstehe die Diskussion nicht. -1 ist nicht im Definitionsbereich, fertig. Umformungen ändern u.U. den Definitionsbereich, ist auch bekannt. Logarithmengesetze gelten nur da, wo sie definiert sind, also hier auch nicht für -1, d.h. die Umformung ist dafür gar nicht anwendbar.

Es gibt daher hier auch gar kein Dilemma.