Aloha :)
$$\vec f(\vec x)=\begin{pmatrix}x_1-x_3x_4\\x_1x_2+x_4\end{pmatrix}\quad;\quad \vec g(\vec y)=\begin{pmatrix}y_1y_2\\y_1-y_2\\\frac{y_2}{y_1}\end{pmatrix}$$
Gesucht ist die Ableitung von \(\vec g\circ \vec f\) an der Stelle \(\vec x_0=(3|0|1|2)^T\)
1) Kettenregel:
Wir bestimmen die Jacobi-Matrizen der beiden Funktionen:$$D\vec f(\vec x)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -x_4 & -x_3\\x_2 & x_1 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad D\vec g(\vec y)=\begin{pmatrix}y_2 & y_1\\1 & -1\\-\frac{y_2}{y_1^2} & \frac{1}{y_1}\end{pmatrix}$$Damit lautet die Ableitung von \((g\circ f)(\vec x)\):$$D(g\circ f)(\vec x)=D\vec g(\;\vec f(\vec x)\;)\cdot D\vec f(\vec x)$$$$\phantom{D(g\circ f))(\vec x)}=D\vec g(\;(x_1-x_3x_4)\,;\,(x_1x_2+x_4)\;)\cdot D\vec f(x_1;x_2;x_3;x_4)$$$$\phantom{D(g\circ f))(\vec x)}=\begin{pmatrix}(x_1x_2+x_4) & (x_1-x_3x_4)\\1 & -1\\-\frac{(x_1x_2+x_4)}{(x_1-x_3x_4)^2} & \frac{1}{(x_1-x_3x_4)}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 0 & -x_4 & -x_3\\x_2 & x_1 & 0 & 1\end{pmatrix}$$Diese Matrix-Multiplikation ist mir für das allgemeine \(\vec x\) zu fummelig, das Prinzip sollte klar geworden sein. Wir sollen die Ableitung ja vür \(\vec x_0=(3|0|1|2)^T\) bestimmen. Das setzen wir ein:
$$D(g\circ f)(\vec x_0)=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & -1\\-2 & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -1\\0 & 3 & 0 & 1\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrrr}2 & 3 & -4 & -1\\1 & -3 & -2 & -2\\-2 & 3 & 4 & 3\end{array}\right)$$
2) Direkte Berechnung
$$(\vec g\circ\vec f)(\vec x)=\vec g(\;\vec f(\vec x)\;)=\vec g(\;(x_1-x_3x_4)\,;\,(x_1x_2+x_4)\;)=\begin{pmatrix}(x_1-x_3x_4)(x_1x_2+x_4)\\(x_1-x_3x_4)-(x_1x_2+x_4)\\\frac{(x_1x_2+x_4)}{(x_1-x_3x_4)}\end{pmatrix}$$$$(\vec g\circ\vec f)(\vec x)=\begin{pmatrix}x_1^2x_2-x_1x_2x_3x_4+x_1x_4-x_3x_4^2\\-x_1x_2+x_1-x_3x_4-x_4\\\frac{x_1x_2+x_4}{x_1-x_3x_4}\end{pmatrix}$$
Die Ableitung davon finden wir mit der Jacobi-Matrix:$$D(\vec g\circ\vec f)(\vec x)=\begin{pmatrix}2x_1x_2-x_2x_3x_4+x_4 & x_1^2-x_1x_3x_4 & -x_1x_2x_4-x_4^2 & -x_1x_2x_3+x_1-2x_3x_4 \\-x_2+1 & -x_1 & -x_4 & -x_3-1\\-\frac{x_4(x_2x_3+1)}{(x_1-x_3x_4)^2} & \frac{x_1}{x_1-x_3x_4} & \frac{x_4(x_1x_2+x_4)}{(x_1-x_3x_4)^2} & \frac{x_1(x_2x_3+1)}{(x_1-x_3x_4)^2}\end{pmatrix}$$
Wir setzen nun den Punkt \(\vec x_0=(3|0|1|2)^T\) ein und finden:$$D(\vec g\circ\vec f)(\vec x_0)=\left(\begin{array}{rrrr}2 & 3 & -4 & -1 \\1 & -3 & -2 & -2\\-2 & 3 & 4 & 3\end{array}\right)$$
