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Aufgabe:

$$ \lim\limits_{x\to\infty} \frac{2n^2}{n^2-1} \:Überprüfen \:Sie\:mittels\: der\: Definition\: für\:Grenzwerte, \\dass\: Ihre\: Antwort\: in\: Teil\: (a) \:richtig\: ist. $$



Problem/Ansatz:

bei a) habe ich als Grenzwert 2 raus, aber bei der b) komme ich nicht weiter. Kann mir bitte jemand helfen??

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Dazu musst du ja schauen, ob für jedes ε>0 es ein N gibt #

mit n>N ==>    \(   | \frac{2n^2}{n^2-1} - 2 | < ε  \)

Dazu die Ungleichung mal was umformen:

\(  | \frac{2n^2}{n^2-1} - 2 | < ε  \) <=>    \(  | \frac{2n^2}{n^2-1} -\frac{2(n^2-1)}{n^2-1} | < ε  \)

<=>    \(  | \frac{2n^2-2n^2 + 2 }{n^2-1}  | < ε  \)

<=>    \(  | \frac{ 2 }{n^2-1}  | < ε  \)

Für n>1 (n=1 ist eh nicht definiert und es interessieren ja auch nur große n)

ist alles positiv, also kann der Betrag weg.

<=>    \(  \frac{ 2 }{n^2-1}   < ε      | * (n^2-1)\)        

<=>    \(  2   < ε * (n^2-1)        | : ε  \)       

<=>    \(  \frac{ 2 }{ε}  < n^2-1   \)       

<=>    \(  \frac{ 2 }{ε}  - 1  < n^2  \)   

Nun gibt es ja nach dem archimedischen Axiom zu jeder

reellen Zahl x eine natürliche Zahl N, die größer als x ist.

Also gibt es so ein N auch zu   \(  \frac{ 2 }{ε}  - 1  \) .

Dann gilt das auch für N^2 und auch alle n>N erfüllen die

Ungleichung. Also kann man dieses N als das oben (#) gesuchte nehmen.

Avatar von 289 k 🚀

Perfekt, danke dir/Ihnen!!!

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