Dazu musst du ja schauen, ob für jedes ε>0 es ein N gibt #
mit n>N ==> \( | \frac{2n^2}{n^2-1} - 2 | < ε \)
Dazu die Ungleichung mal was umformen:
\( | \frac{2n^2}{n^2-1} - 2 | < ε \) <=> \( | \frac{2n^2}{n^2-1} -\frac{2(n^2-1)}{n^2-1} | < ε \)
<=> \( | \frac{2n^2-2n^2 + 2 }{n^2-1} | < ε \)
<=> \( | \frac{ 2 }{n^2-1} | < ε \)
Für n>1 (n=1 ist eh nicht definiert und es interessieren ja auch nur große n)
ist alles positiv, also kann der Betrag weg.
<=> \( \frac{ 2 }{n^2-1} < ε | * (n^2-1)\)
<=> \( 2 < ε * (n^2-1) | : ε \)
<=> \( \frac{ 2 }{ε} < n^2-1 \)
<=> \( \frac{ 2 }{ε} - 1 < n^2 \)
Nun gibt es ja nach dem archimedischen Axiom zu jeder
reellen Zahl x eine natürliche Zahl N, die größer als x ist.
Also gibt es so ein N auch zu \( \frac{ 2 }{ε} - 1 \) .
Dann gilt das auch für N^2 und auch alle n>N erfüllen die
Ungleichung. Also kann man dieses N als das oben (#) gesuchte nehmen.
