Vektorräume über Körper

Question

Wir betrachten die Menge der reellen Zahlen R als ein Vektorraum über dem Körper  der rationalen Zahlen Q. Beweisen Sie, dass
die “Vektoren” 1, √2 und √3 aus R über Q linear unabhängig  sind.

Kann mir bitte jemand helfen? Ich verstehe die Aufgabe absolut nicht und weiß nicht mal wie/wo ich anfangen will

Answer 1

es muss gelten:

\(\alpha\cdot1+\beta\cdot \sqrt2 +\gamma\cdot \sqrt3=0\Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0; \alpha,\beta,\gamma \in Q\)

und das ist korrekt!

Für \( \alpha,\beta,\gamma \in R\) gilt das nicht: \( \alpha=-5,\beta=\sqrt2,\gamma=\sqrt3 \)

Comments

Woher weißt du, dass das korrekt ist?

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Dass \(\sqrt{2}\) und \(\sqrt{3}\) nicht in \(\mathbb{Q}\) liegen, ist bekannt.

Aber warum soll \(\sqrt{3}\) nicht im \(\mathbb{Q}\)-Spann

von \(\{1,\sqrt{2}\}\) liegen? Das muss begründet werden.