Wir betrachten die Menge der reellen Zahlen R als ein Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen Q. Beweisen Sie, dass die “Vektoren” 1, √2 und √3 aus R über Q linear unabhängig sind.
Kann mir bitte jemand helfen? Ich verstehe die Aufgabe absolut nicht und weiß nicht mal wie/wo ich anfangen will
es muss gelten:
\(\alpha\cdot1+\beta\cdot \sqrt2 +\gamma\cdot \sqrt3=0\Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0; \alpha,\beta,\gamma \in Q\)
und das ist korrekt!
Für \( \alpha,\beta,\gamma \in R\) gilt das nicht: \( \alpha=-5,\beta=\sqrt2,\gamma=\sqrt3 \)
Woher weißt du, dass das korrekt ist?
Dass \(\sqrt{2}\) und \(\sqrt{3}\) nicht in \(\mathbb{Q}\) liegen, ist bekannt.
Aber warum soll \(\sqrt{3}\) nicht im \(\mathbb{Q}\)-Spann
von \(\{1,\sqrt{2}\}\) liegen? Das muss begründet werden.
Ein anderes Problem?
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