Aloha :)
Ich schreibe iden Erwartungswert nicht als \(E(\cdots)\), sondern in spitzen Klammern \(\langle\cdots\rangle\).
Der Erwartungswert bzw. der Mittelwert ist linear. Das bedeutet, dass die folgenden beiden Rechenregeln gelten. Sei \(a\) eine konstante Zahl und \(A,B\) zwei Zufallsvariablen, dann gilt:$$(1)\quad\langle A+B\rangle=\langle A\rangle+\langle B\rangle$$$$(2)\quad\langle a\cdot A\rangle=a\cdot\langle A\rangle$$
Per Definition ist:$$V(X)=\left<(X-\left<X\right>)^2\right>$$Darauf wenden wir die 2-te binomische Formel an:$$=\langle \underbrace{X^2}_{=A}-\underbrace{2X\langle X\rangle}_{=B}+\underbrace{\langle X\rangle^2}_{=C}\rangle$$Nun wird Regel (1) auf alle 3 Summanden angewendet:$$=\langle\underbrace{X^2}_{=A}\rangle-\langle\underbrace{2X\left<X\right>}_{=B}\rangle+\langle\underbrace{\left<X\right>^2}_{=C}\rangle$$In der Mitte kommt jetzt Regel (2) zum Zug, denn \(2\cdot\langle X\rangle\) ist eine konstante Zahl \(a\), die wir vor die spitze Klammer ziehen können:$$=\left<X^2\right>-\underbrace{2\left<X\right>}_{=a}\left<X\right>+\left<X\right>^2$$Die beiden Mittelwerte im mittleren Term ergeben ein Quadrat:$$=\left<X^2\right>-2\left<X\right>^2+\left<X\right>^2$$$und wir erhalten schließlich:$$=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2$$
