Beweis der Varianzformel

Question

Aufgabe:

Beweis der Varianz:

Beweisen sie für die Varianz die im Vergleich zur Definitionsgleichung für das praktische ausrechnen ist einfacher zu handelnde Berechnungsformel:

s(x)²= ((∑ k=1 bis m) xk² • P(X=xk)) - μ²

Kurzfassung= V(X)= E(X²) - μ²

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe iden Erwartungswert nicht als $E(\cdots)$, sondern in spitzen Klammern $\langle\cdots\rangle$.

Der Erwartungswert bzw. der Mittelwert ist linear. Das bedeutet, dass die folgenden beiden Rechenregeln gelten. Sei $a$ eine konstante Zahl und $A,B$ zwei Zufallsvariablen, dann gilt:$$(1)\quad\langle A+B\rangle=\langle A\rangle+\langle B\rangle$$$$(2)\quad\langle a\cdot A\rangle=a\cdot\langle A\rangle$$

Per Definition ist:$$V(X)=\left<(X-\left<X\right>)^2\right>$$Darauf wenden wir die 2-te binomische Formel an:$$=\langle \underbrace{X^2}_{=A}-\underbrace{2X\langle X\rangle}_{=B}+\underbrace{\langle X\rangle^2}_{=C}\rangle$$Nun wird Regel (1) auf alle 3 Summanden angewendet:$$=\langle\underbrace{X^2}_{=A}\rangle-\langle\underbrace{2X\left<X\right>}_{=B}\rangle+\langle\underbrace{\left<X\right>^2}_{=C}\rangle$$In der Mitte kommt jetzt Regel (2) zum Zug, denn $2\cdot\langle X\rangle$ ist eine konstante Zahl $a$, die wir vor die spitze Klammer ziehen können:$$=\left<X^2\right>-\underbrace{2\left<X\right>}_{=a}\left<X\right>+\left<X\right>^2$$Die beiden Mittelwerte im mittleren Term ergeben ein Quadrat:$$=\left<X^2\right>-2\left<X\right>^2+\left<X\right>^2$$$und wir erhalten schließlich:$$=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2$$