a)P(A tritt genau einmal ein)=$$P(ABB)+P(BAB)+P(BBA)=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{27}{64}$$
b)P(A tritt nie ein)=$$P(BBB)=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{27}{64}$$
c)P(beim ersten Drehen tritt B ein und danach zweimal A)=$$P(BAA)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{64}$$
d)P(B tritt genau einmal ein)=$$P(BAA)+P(ABA)+P(AAB)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{64}$$
e)Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit:
P(X unter der Bedingung Y)=
$$P(X|Y)=\frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$$
$$P(beim\, zweiten\, Drehen\, tritt \,A\, ein \cap beim\, ersten\, Drehen\, tritt\, A\, ein)=$$
$$P(AAB)+P(AAA)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$$
$$P(beim\, ersten\, Drehen\, tritt\, A\, ein)=\frac{1}{4}$$
$$P(beim\, zweiten\, Drehen\, tritt \,A\, ein \,unter \,der \,Bedingung \,,$$
$$dass\, beim\, ersten\, Drehen\, A\, eingetreten \,ist)=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}=$$
$$P(beim\, zweiten\, Drehen\, tritt \,A\, ein)$$
denn das zweite Drehen ist unabhängig vom Ersten.
