Aloha :)
Da wir den Grenzwert \(n\to\infty\) abschätzen sollen, sei im Folgenden \(n\ge2\) vorausgesetzt.$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}$$
Wenn wir die Nenner etwas vergrößern, verkleinern wir die Summanden:$$S_n=\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}>\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=n}^{2n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k+1}$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=n+1}^{2n+1}\frac{1}{k}=\left(\frac1n+\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\right)-\left(\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}+\frac{1}{2n+1}\right)=\frac1n-\frac{1}{2n+1}$$
Wenn wir den Nenner etwas verkleinern, vergrößern wir die Summanden:$$S_n=\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}<\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k(k-1)}=\sum\limits_{k=n}^{2n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k-1}-\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{k=n-1}^{2n-1}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}=\left(\frac{1}{n-1}+\sum\limits_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{k}\right)-\left(\sum\limits_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{2n}$$
Für \(n\ge2\) gilt also:$$\frac{1}{n}-\frac{1}{2n+1}<\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{2n}$$Da sowohl die linke Seite als auch die rechte Seite für \(n\to\infty\) gegen \(0\) konvergieren, gilt nach dem Sandwich-Theorem insbesondere:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}=0$$
