Aloha :)
Wir suchen den Grenzwert für \(n\to\infty\) von der Folge$$a_n=\frac{n+1}{n^3+(4n-8)}$$Wir nehmen \(a_1\) aus der Betrachtung heraus, weil dies für den Grenzwert nicht relevant ist. Sei also im Folgenden \(n\ge2\). Dann gilt:$$0\stackrel{(1)}{<}a_n=\frac{n+1}{n^3+(4n-8)}\stackrel{(2)}\le\frac{n+1}{n^3}\stackrel{(3)}{<}\frac{2n}{n^3}=\frac{2}{n^2}\to0$$Die Überlegungen zu den einzelnen Schritten sind:
(1) Wegen \(n\ge2\) ist \((4n-8)\ge0\). Daher sind sowohl der Zähler als auch der Nenner von \(a_n\) positiv, sodass \(a_n\) für alle \(n\ge2\) positiv ist.
(2) Wenn wir im Nenner \((4n-8)\ge0\) weglassen, wird durch weniger dividiert und der Qotient wird größer.
(3) Wenn wir den Zähler von \(n+1\) auf \(n+n=2n\) vergrößern, wird der Quotient größer.
