Z.z..:Dreiecksungleichung der Matrixnorm

Question

Aufgabe:

Wir erinnern an die entsprechende Notation: Für \( x \in \mathbb{R}^{n} \) und \( 1 \leq p<\infty \), wir setzen ,
\( \|x\|_{p}:=\sqrt[p p]{\sum \limits_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}}, \quad\|x\|_{\infty}:=\max _{1 \leq i \leq n}\left|x_{i}\right| \)
Für eine \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) und \( 1 \leq p \leq \infty \)definieren wir die Matrixnorm
\( \|A\|_{p}:=\sup _{x \neq 0} \frac{\|A x\|_{p}}{\|x\|_{p}}=\sup _{\|x\|_{p}=1}\|A x\|_{p} \)

Zeigen Sie für alle \( x \in \mathbb{R}^{n} \), dass gilt:
\( \|A x\|_{p} \leq\|A\|_{p}\|x\|_{p} \)

Answer 1

Hallo,

für \( x = 0_{\mathbb{R}^n} \) ist die Aussage klar.

Sei \( x \in \mathbb{R}^n\setminus\lbrace{0_{\mathbb{R}^n}\rbrace} \). Dann gilt \(  \frac{\lVert{Ax\rVert}_p}{\lVert{x\rVert}_p} \leq \sup\limits_{x \neq 0_{\mathbb{R}^n}} \frac{\lVert{Ax\rVert}_p}{\lVert{x\rVert}_p} = \lVert{A\rVert}_p\), d.h. \( \lVert{Ax\rVert}_p \leq \lVert{A\rVert}_p \cdot \lVert{x\rVert}_p\), da \(\lVert{x\rVert}_p > 0\)