Wie löse ich (2xy/x+y)^2 ≤ xy

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie fur einen geordneten Körper K und x, y ∈ K mit
0 < x ≤ y

\(( \frac{2xy}{x+y} \))²  ≤ xy

Problem/Ansatz:

Hat da jemand einen Ansatz zu, wie ich das Ganze lösen kann? Ist nur ein Teil der Aufgabe, wobei ich den anderen bereits gelöst habe. Bei diesem komm ich aber trotz grübeln nicht weiter.

Answer 1

Hallo1, durch xy teilen

dann mit (x+y=^2 multiplizieren ,  ausmultiplizieren

 -4xy auf beuten Seiten

dann hast du 0<= (....)^2  immer richtig und kannst von da aus jeden Schritt rückwärts machen, bis di bei der Behauptung ankommst.

lul

Comments

Irgendwie finde ich diese Antwort noch verwirrender..

Wenn ich die ungleichung durch xy teile dann müsste da ja

(\( \frac{2xy}{x+y} \))²  · \( \frac{1}{xy} \) ≤ 1 stehen, und wenn ich dann (x+y)² multipliziere steht da (2xy)²  ·  \( \frac{1}{xy} \) ≤ (x+y)²  , nach dem ausmultiplizieren \( \frac{4xy}{xy} \) ≤ x² + 2xy + y²  ... wie soll ich denn da auf beiden seiten -4xy abziehen?

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Hallo

(2xy)^2/xy= 4(xy)*(xy)/xy=4xy

also leider ein Rechenfehler von dir-

lul

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und wie kommt man auf der rechten seite, also dem (x+y)^2 auf 4xy, sodass man da -4xy abziehen kann