Ungleichungen nicht auflösbar: 2xy ≤ x^2 + y^2 und jetzt?

Question 1

Ich soll die Lösungsmenge in RxR (Reelle Zahlen) für x,y, für folgende Ungleichung bestimmen.

\( 4 x y \leq(x+y)^{2} \)
\( = \)
\( 2 x y \leq x^{2}+y^{2} \)

Zweiteres erhält man durch simples Auflösen und Subtrahieren.

Jetzt muss ich das jedoch irgendwie nach y auflösen.

Doch egal was man macht, mir wird die Menge der Lösungen nicht klar. Es ist nicht klar erkenntlich welches x,y diese Bedingung erfüllt.

Würde es genügen, eine Fallunterscheidung mit Beispielen aufzuführen. Nach dem Motto "das auf der rechten Seite ist immer größer gleich null" ?

Question 2

Bring das, was links steht, nach rechts und wende die binomische Formel an.

Question 3

mhmm... okay , dann steht folgendes da: \( 0 \leq(x-y)^{2} \)

Und das bedeutet, dass (x-y)² niemals negativ sind und deswegen die Bedingung immer erfüllt ist?

Also: \( M:=\{(x, y) \epsilon R x R \mid x, y \epsilon R\} \)

Question 4

Die Lösungsmenge ist entweder R oder Q ;)

Question 5

Ich probier das mal mit dem Tipp:

[spoiler]

2xy ≤ x^2 + y^2

0 ≤ x^2 -2xy + y^2 = (x-y)^2

Das gilt für reelle x und y immer, denn Quadrate sind nie negativ.

L = R^2

[/spoiler]

Markiere die Lücke, wenn nötig. Hast du gleich viel?

Question 6

ja, da RxR das selbe ist wie R²

Question 7

Sehr gut! Dann sollte es ja stimmen.

Question 8

Bestimmt richtig. Du hattest ja die Lösung schon selbst hingeschrieben.

Hier vielleicht noch eine Illustration:

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