Aufgabe \( 4.2 \)
Eine geometrische Progression ist eine mathematische Zahlenfolge \( b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots \) mit der Eigenschaft, dass \( b_{1} \neq 0 \) und dass der Quotient zweier benachbarter Progressionsglieder \( q=b_{k+1} / b_{k} \) für alle \( k \) konstant ist. Man kann zeigen, dass das \( k- \) te Glied \( b_{k} \) einer geometrischen Progression mit dem Anfangsglied \( b_{1} \) und dem Quotienten \( q \) sich nach der Formel
\( b_{k}=b_{1} \cdot q^{k-1} \text { mit } 1 \leq k \leq n \)
berechnet.
a) Beweisen Sie direkt die Formel für die Summe der ersten \( n \) Glieder einer solchen geometrischen Progression:
\( \sum \limits_{k=1}^{n} b_{k}=b_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q} \)
b) Berechnen Sie mithilfe der Formel aus a)
1) \( 1+2+4+\ldots+2^{10} \)
2) \( \sum \limits_{i=2}^{6} \frac{1}{3^{i}} \)
3) \( \sum \limits_{m=4}^{13} 4\left(\frac{1}{2}\right)^{m} \).
Problem/Ansatz:
Ich bin gerade am lernen für eine Prüfung, leider scheitere ich bei dieser Aufgabe schon beim Verständnis der Frage … es wäre super wenn mir jemand versuchen könnte zu erklären was hier zu tun ist!
