Zeigen Sie, dass ∼n eine Äquivalenzrelation ist, TU Dortmund

Question

Aufgabe:

es ist....
Sei n∈ℕ und ∼n ⊆ℝ × ℝ definiert durch :

x∼n y ⇔df xn−yn = nx−ny.

1. Zeigen Sie, dass ∼n eine Äquivalenzrelation ist.

2. Geben Sie möglichst explizite Darstellungen an für ℝ/∼0, ℝ/∼1und ℝ/∼2.


Problem/Ansatz:

Hallo, wie löse ich am besten diese Aufgabe? Vielen Dank im voraus.

Comments

Wenn du immer wieder denselben Fehler in deine Frage einbaust, wirst du vielleicht auch immer wieder ohne Antwort dastehen.

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Hast du vielleicht irgendwo Produkte und

Potenzen verwechselt, heißt es vielleicht

xⁿ−yⁿ = nx−ny  ?

Answer 1

Zu \(n\) betrachte die Funktion \(f_n:\;R\rightarrow R\), die

durch \(f_n(x)=x^n-nx\) gegeben ist.

Dann ist \(x\sim_n y\iff f_n(x)=f_n(y)\).

Die Relation bedeutet also die Gleichheit der Funktionswerte von \(f_n\).

Da Gleichheit eine Äquivalenzrelation ist, ist damit auch "\(\sim_n\)"

eine solche.