1. Beim ersten Gleichheitszeichen wird der Bruch mit (n+1) erweitert. x/a = x/b * b/a (und nicht etwa x/b * a/b wie du geschrieben hast).
2. a. Der eine Faktor 2 aus 4 = 2*2 wurde mit der Summe n+1 zu 2n+2 multipliziert, der andere Faktor 2 bleibt stehen.
2. b. Der Faktor (2n2+5n+2)/(2n2+4n+2) ist jedenfalls größer als 1, deshalb das ≤ Zeichen am Anfang der Zeile. Er wird eingeführt, weil man ihn später so gut gebrauchen kann. (Die Tatsache, dass man gerade ihn benötigt, sieht man nur, wenn man den Beweis vorher einmal auf Schmierpapier durchgeführt hat, am besten von beiden Seiten der Ungleichungskette ausgehend - was habe ich und wo muss ich hin - und zusehen, dass es sich in der Mitte trifft. So etwas wird üblicherweise als Geniestreich dargeboten und niemandem verraten.)
3. Es wird n!*(n+1) = (n+1)! sowie (2n)!*(2n+1)*(2n+2) = (2n+2)! = (2*(n+1))! benutzt.
Ganz am Ende der Zeile war übrigens ein Fehler, dort muss es natürlich (n+1)!^2 heißen.