Beweise, dass 4n/n+1 < (2n)!/(n!)2 Für n<=2

Question

Aufgabe:

Beweise, dass für alle \( n \in \mathbb{N}, \quad n \geq 2 \) gilt

\( \frac{4^{n}}{n+1}<\frac{(2 n) !}{(n !)^{2}} \).

Problem/Ansatz:
Versuchen tue ich es mit vollständiger Induktion:

Den Anfang mit 2 zu beweisen war nicht schwer: 16/3=5/1+1/3 < 6
Doch mit n+1 fällt mir die Aufgabe sehr schwer.

Ein möglicher Ansatz wäre vlt zu zeigen, dass

(4^n+1)*((n+1)!)^2 < (2*(n+1))! * n+2
Das würde zumindest mit 2 noch funktionieren:
16*4=64<72=24*3

Bin jedoch recht ratlos wie ich das zeigen kann.

Würde mich sehr über Hilfe freuen :)

Unknown: Latex aus dem Kommentar eingefügt

Comments

Entweder hast Du in der Aufgabe Klammern vergessen, oder die Induktionsverankerung ist falsch.

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Text erkannt:

Für \( n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \) gilt \( \frac{4^{n}}{n+1}<\frac{(2 n) !}{(n !)^{2}} \).

Ist die Aufgabe.
Bei der Induktionsverankerung habe ich 2 für n eingesetzt und da (4^n) / n+1 =16/3
und für ((2n)!)/(n!)^2 = (4*3*2*1)/(2*1)^2 was gleich 24/4 ist und das wiederum ist 6.
Dementsprechend ist 16/3 umgeschrieben als 5/1 + 1/3 kleiner als 6.
Meintest du, dass ich hier irgendwo nen Fehler gemacht habe?

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Es fehlen Klammern um den Nenner.

Jetzt hat es jemand korrigiert, nur im Titel ist es noch falsch.

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Danke für das drauf aufmerksam machen. Kann den Titel leider nicht mehr neu schreiben.

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Warum kümmert ihr euch nicht mal etwas mehr um Mathematik als um Pillepalle ?

@ I : Weil mir dein Name gefällt :

4ⁿ⁺¹ / (n+2)  =  4 * 4^n/(n+1) * (n+1)/(n+2)  <  4 * (2n)!/(n!)^2 * (n+1)/(n+2)
≤  2 * (2n)!/(n!)^2 * (2n+2)/(n+2) * (2n^2+5n+2)/(2n^2+4n+2)
=  2 * (2n)!/(n!)^2 * (2n+2)/(n+2) * ((n+2)*(2n+1)) / (2*(n+1)^2)
=  (2n)! * (2n+2) * (2n+1) / (n!^2 * (n+1)^2)  =  (2(n+1))! / (n+1)! .

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Vielen lieben Dank für die Antwort.
Ich habe, nach 2 Stunden, wo ich versucht habe, diesen Beweis nachzuvollziehen, mehrere Fragen.
Entschuldige im Vorhinein mein Unverständnis. Es wäre vielleicht schneller aufzuzählen, welche Teile des Beweises ich geblickt habe als nicht geblickt(Da der erstgenannte Teil prozentual kleiner ist).

1.
Welches Rechengesetz erlaubt [x/(n+2)] zu [ x/(n+1) * ((n+2)/(n+1)) umzuwandeln?
Finde es sehr interessant zu sehen, dass das möglich ist - War mir nicht klar vorher.

2.
Ebenso ist mir nicht klar wie 2 * (2n)!/(n!)2 * (2n+2)/(n+2) * (2n2+5n+2)/(2n2+4n+2) zustande gekommen ist, so dass es größer ist als  4 * (2n)!/(n!)2 * (n+1)/(n+2).
Es handelt sich ja um eine Umformung von ((2(n+1))!)/(n+1)! und nicht ((2(n+1))!)/((n+1)!)^2

3. Leider sind mir sämtliche Umformungen in der letzten Zeile ein Rätsel.

Wie zu sehen ist, steht es echt nicht gut um meine Mathe Kenntnisse, was ich hoffe zu ändern. Wie ist wohl die Frage, die mich noch mehr beschäftigt als das Lösen von Aufgaben wie diesen.

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1. Beim ersten Gleichheitszeichen wird der Bruch mit (n+1) erweitert. x/a =  x/b * b/a (und nicht etwa x/b * a/b wie du geschrieben hast).

2. a. Der eine Faktor 2 aus 4 = 2*2  wurde mit der Summe n+1 zu 2n+2 multipliziert, der andere Faktor 2 bleibt stehen.
2. b. Der Faktor (2n²+5n+2)/(2n²+4n+2) ist jedenfalls größer als 1, deshalb das ≤ Zeichen am Anfang der Zeile. Er wird eingeführt, weil man ihn später so gut gebrauchen kann. (Die Tatsache, dass man gerade ihn benötigt, sieht man nur, wenn man den Beweis vorher einmal auf Schmierpapier durchgeführt hat, am besten von beiden Seiten der Ungleichungskette ausgehend - was habe ich und wo muss ich hin - und zusehen, dass es sich in der Mitte trifft. So etwas wird üblicherweise als Geniestreich dargeboten und niemandem verraten.)

3. Es wird n!*(n+1) = (n+1)! sowie (2n)!*(2n+1)*(2n+2) = (2n+2)! = (2*(n+1))! benutzt.
Ganz am Ende der Zeile war übrigens ein Fehler, dort muss es natürlich (n+1)!^2  heißen.