Binomialverteilung mit besonderer Fragestellung

Question

Aufgabe:

Aus einer langfristigen Statistik ist bekannt, dass 60% der Besucher einen Einkauf im Stand Café tätigen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 150 befragten Personen die ersten drei Personen einen Einkauf getätigt haben.

Problem/Ansatz:

n=150 und p=0,6 und das Ganze ist binomialverteilt.

Mein Problem ist jetzt der Ausdruck "die ersten drei Personen", was bedeutet das ? Wenn ich jetzt einfach die kumulierte Binomialverteilung für k=3 nehme, rechne ich ja nur die Wahrscheinlichkeit dafür aus, dass höchstens 3 Personen einen Einkauf tätigen, behandle hier also nicht die ersten drei Personen. Bin ich ganz falsch oder wie ist der Ansatz ?

Answer 1

Du kannst hier auch die Bernoulli-Formel mit n=k=3 verwenden: $$ P\left(X=3\right)={3 \choose 3} \cdot 0.6^3\cdot\left(1-0.6\right)^{3-3} = 0.6^3 $$

Comments

Damit schießt du zwar mit Kanonen auf Spatzen, aber wo du Recht hast, hast du Recht. :)

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Aus "die ersten drei Personen" folgt nicht nur k=3, sondern eben auch n=3 und nicht n=150. An dieser Stelle lag der Fehler des Fragers.

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Damit wäre auch das geklärt und kann unter az121121 ad acta gelegt werden. :)

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Apropos mit Kanonen auf Spatzen ...

Aus rein akademischem Interesse :
Wenn mit   einer langfristigen Statistik argumentiert wird, ist es dann die beste Annahme zu sagen, dass die W. für jeden einzelnen 0,6 beträgt oder wäre es eventuell besser, für die gesamte Gruppe der 150 Personen eine W. von 0,6 und damit einen Erwartungswert von 90 anzunehemen und dann die gesuchte W. als 90/150 * 89/149 * 88/148  zu berechnen ?

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Antwort auf meine eigene Frage (nur für die Nachwelt, aber Herr Noack sieht so ewas gern) :
Man kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem skizzierten Ansatz korrekt berechnen, allerdings darf man dabei nicht nur den Erwartungswert für die Anzahl der Käufer unter den 150 Personen heranziehen, sondern muss jede mögliche Anzahl n von Käufern (n=0 ... 150) berücksichtigen (d.h. Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von n multipliziert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit dafür, dass dann die ersten drei Personen Käufer sind). Damit kommt man ebenfalls zum Wert p = 0,6^3.

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Man kann auch von Berlin über Köln nach München fahren.

Answer 2

P= 0,6^3

Es gibt keine weiteren Zusatzbedingungen.

Comments

Ich empfehle in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer zunächst in Pfadregeln zu denken und erst im zweiten Schritt zu überlegen ob es dafür eine vereinfachte Formel gibt.

Es ist extrem ungünstig zuerst immer in Formeln zu denken. Dann hat man bei etwas komplizierteren Aufgaben große Schwierigkeiten.