Differentialgleichung lösen für den freien Fall

Question

Aufgabe:

Differentialgleichung lösen

m*a= -αv²

Problem/Ansatz:

Ich habe das ganze umgeschrieben und versucht es zu lösen komme aber auf ein sehr komisches Ergebnis...

m*\( \frac{dv}{dt} \) = -αv²

\( \int\limits_{v(0)}^{v(T)} \) - \( \frac{m*dv}{α*v quadrat} \) = \( \int\limits_{0}^{T} \) dt

Answer 1

Hallo

du hast doch schon alles richtig?

einfacher die Dgl allgemein lösen und dann (falls gegeben v(0)=v0 einsetzen

das linke Integral ist m/v (überprüfen durch ableiten, das rechte αt+C

also  hast du 1/v=α/m*t+c

oder v=1/(α/m*t+c)

jetzt v(o)=v0 einsetzen  1/v0=0+c, c=1/v0

wenn man unsicher ist bei einer Lösung bildet man die Ableitung und setz in die Dgl ein!

Gruß lul

Comments

Ich soll v(t) aufstellen mit Lösen der Diff.-gleichung. Ich komme am Ende auf

v(t)= \( \frac{m*v0}{α*t*v0+m} \)

Mein Problem ist auch so ein bisschen dass ich eigentlich nicht so richtig verstehe von was ich die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von t ausrechne.

Gegeben ist die Reibungskraft mit -αv^2 und ich soll m*a=-α*v^2 lösen um auf v(t) zu kommen...

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Ist das soweit richtig?

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Hallo

deine Lösung ist richtig, dasselbe nur umgeformt, was ich schrieb, allerdings ist da nicht die Dale des freien falls mit Losung, denn es fehlt ja sie Erdbeschleunigung

die Dgl für freien Fall mit Luftreibung ist mv'=mg-α*v^2

als Lösung findet man eine tanh Funktion

allerdings ist es nicht die Dgl des freien Falls mit Reibung

Gruß lul

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Ja, in Aufgabe Teil b soll man dann das ganze mit der Erdbeschl. rechnen. Was ich nicht so ganz verstehe ist, was ich da überhaupt ausrechne. Von was ist das die Geschwindigkeit. Es ist ja nur die Reibungskraft gegeben. Das verstehe ich nicht so ganz.

Es gibt meiner Meinung nach überhaupt keine Bewegung von der ich die Geschwindigkeit ausrechne.

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Lösen Sie zunächst die sogenannte homogene Differentialgleichung mx¨ = −αx˙^2 und geben
Sie die Geschwindigkeit und den Ort für t → ∞ an. Dabei sei die Anfangsgeschwindigkeit
v(t = 0) = v0.

Hier die konkrete Aufgabenstellung

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Hallo

a) ist z.B die Bewegung eines Objekts mit Luftreibung und Anfangsgeschwindigkeit ≠0, etwa ein Auto geht völlig vom Gas und rollt aus.dabei ist alles für ein bestimmter alpha , was von form und Fl-äche abhängt

b) mit g kan die Anfangsgeschwindigkeit 0 sein, oder v0

wieder alpha abhängig vom fallenden Körper, z.B, mit oder ohne Fallschirm , Größe von Hagelkörnern usw, es stellt sich eine konstante Fallgeschwindigkeit ein, etwa für Regen ,Graupel ,Hagel. die Endgeschwindigkeit kann man auch ohne lösen der Dgl durch F=0 lösen also αv^2=mg

Gruß lul

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Achso okay. Das heißt, wenn t gegen ∞ läuft, geht v gegen null? Und für den Ort bei t gegen unendlich integriere ich einmal nach der Zeit? Vielen Dank schon mal!

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hallo

für den Fall ohne g, ja; aber v wird winzig auch für sehr endliche Zeiten, und ja den Ort durch Integration von v(t)

lul

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vielen vielen dank und einen schönen abend wünsche ich!