Differentialgleichung lösen, separieren

Question

Aufgabe:

Es geht um das Thema: Differentialgleichungen
Folgende Aufgabe: y‘= 1/e^y mit y(1)=0

Problem/Ansatz:

1) Stammfunktion: -e^-y + c

wie geht es jetzt weiter? Ich muss glaube ich auflösen und dann einsetzen?

Komme nicht auf die Lösung.

Danke

Answer 1

Hallo,

y‘= 1/e^y mit y(1)=0

y'= dy/dx

dy/dx = 1/e^y

e^y dy= dx

e^y =x +C | ln(..)

y= ln((x+C)

AWB einsetzen in die Lösung:

0=ln(1+C) |e hoch

1=1+C ; C=0

--------->

y= ln((x+C)

y= ln((x+0)

y=ln(x)

Answer 2

y‘= 1/e^y kann man schreiben als

\( \frac{dy}{dx} \)=\( \frac{1}{e^y} \)

und umformen zu

\(e^ydy=1dx\).

Beidseitiges Integrieren liefert

e^y+c1=x+c2

e^y=x+(c1-c2), wobei wir (c1-c2) zu einer neuen Konstante C zusammenfassen.

e^y=x+C..

Beidseitiges Logarithmieren liefert

y=ln(x+c)