Beweise, dass F Stammfunktion ist

Question

Aufgabe:
Für die Funktion \( f \in C^{0}([0,+\infty)) \) existiere das uneigentliche Integral \( \int \limits_{0}^{\infty} f d t \). Zeigen Sie, dass dann die Funktion

\( F(x):=-\int \limits_{x}^{\infty} f(t) d t, \quad x \in[0,+\infty) \)
eine Stammfunktion von \( f \) auf \( [0,+\infty) \) definiert.

Problem/Ansatz:

Ulenkgung \( F(x) \) is Starmpunklion van \( f \), uenn \( F^{\prime}(x)=f(x) \) and DefeniAionderich \( D_{f}=D_{F} .2 \). Bedingung ist per Vorrawnabung gegelen.
\( f \) id retig und es exitic unagentlichs Dnegral \( \int \limits_{0}^{\infty} f d t, a b \sigma \lim \limits_{x \rightarrow b-a} \int \limits_{a}^{x} \)

Answer 1

$$ F'(x) = \lim_{ h \to 0 } \frac{ F(x+h) - F(x) } { h } = \lim_{ h \to 0 } \frac{ - \int_{ x + h }^\infty f(t) dt + \int_{ x }^\infty f(t) dt } { h }  = \lim_{ h\to 0 } \frac{ \int_{ x }^{ x + h } f(t) dt } { h }  = \frac{ h f( \xi ) } { h } = f(\xi) $$ mit \( \xi \in [x , x + h ] \) nach dem Zwischenwertsatz der Integralrechnung.