Summe von Logarithmen

Question

ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Gegeben: log_a (2) + log_a (3) + ... + log_a (n-1) + log_a (n) + log_a (n+1)

"Geben Sie einen Ausdruck mithilfe des Summenzeichens an und benutzen Sie die Logarithmusgesetze um einen Ausdruck mithilfe des Produktzeichens zu erhalten."

Meine Idee war jetzt, erst einmal log_a (2) und log_a (3) zu log_a (2 · 3) zusammenzufassen.

Danach log_a (6) + ∑ log_a (k) mit n+1 als obere Grenze, wobei mit der Startwert nicht ganz klar ist?

Und dann log_a (6) + log_a (∏ k) mit n+1 als obere Grenze, aber auch hier dasselbe Problem mit dem Startwert.

Wäre das dann log_a (6) + log_a ((n+1)!)?

Mein Ansatz wird vermutlich nicht hinkommen, würde mich über Hilfe freuen!

Answer 1

loga (2) + loga (3) + ... + loga (n-1) + loga (n) + loga (n+1)

= loga ((n + 1)!)

Oder eben mit dem Summenzeichen.

Comments

Wäre dann π log_a (k) mit 2 als untere Grenze und n+1 als obere Grenze korrekt und beim Produktzeichen log_a (∏ k) mit denselben Grenzen?

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Wäre dann π loga (k) mit 2 als untere Grenze und n+1 als obere Grenze korrekt

Dann müsstest du das Summenzeichen nehmen

und beim Produktzeichen loga (∏ k) mit denselben Grenzen?

Das wäre dann richtig.

$$\log_{a} \left({\prod \limits_{k=2}^{n+1} k} \right)$$

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Ups, dass war beim ersten gemeint, danke!

Answer 2

Aloha :)

Ja, du bist auf dem richtigen Weg. Ich würde zuvor noch \(\log_a(1)=0\) als "nahrhafte Null" addieren und dann das Summenzeichen unter den Logarithmus ziehen:$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}\log_a(k)=\log_a(1)+\sum\limits_{k=2}^{n+1}\log_a(k)=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\log_a(k)=\log_a\left(\prod\limits_{k=1}^{n+1}k\right)=\log_a(\,(n+1)!\,)$$