Zeige, dass folgende Additionstabelle gilt.

Question

Aufgabe: Zeige, dass folgende Additionstabelle gilt.

Problem/Ansatz: Seien x, y und z paarweise verschiedene mathematische Objekte. Zeige, dass die folgende Additionstabelle

+H	x	y	z
x	x	y	z
y	y	z	x
z	z	x	y

eine abelsche Gruppe (H, +_H) definiert.

Comments

abelsche Gruppe (H, +H) definiert.

Kennst du die Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit etwas eine abelsche Gruppe ist?

Vermutlich sollst du diese Bedingungen einfach prüfen.

Answer 1

Begründe warum \(x+y = y+x\) ist.

Begründe warum \(x+z = z+x\) ist.

Begründe warum \(y+z = z+y\) ist.

Begründe warum das reicht um Kommutativität nachzuweisen.

Begründe warum \((x+x)+y = x+(x+y)\) ist.

Begründe warum \((x+x)+z = x+(x+z)\) ist.

Begründe warum \((x+y)+y = x+(y+y)\) ist.

Begründe warum \((z+y)+y = z+(y+y)\) ist.

Begründe warum \((x+z)+z = x+(z+z)\) ist.

Begründe warum \((y+z)+z = y+(z+z)\) ist.

Begründe warum \((x+y)+z = y+(y+z)\) ist.

Begründe warum das reicht um Assoziativität nachzuweisen.

Bestimme das \(h\in \{x,y,z\}\), so dass \(h+x = x\) und \(h+y = y\) und \(h+z = z\) ist.

Bestimme das \(\overline{x}\in \{x,y,z\}\), so dass \(\overline{x}+x = h\) ist.

Bestimme das \(\overline{y}\in \{x,y,z\}\), so dass \(\overline{y}+y = h\) ist.

Bestimme das \(\overline{z}\in \{x,y,z\}\), so dass \(\overline{z}+z = h\) ist.

Answer 2

Eine Gruppetafel hat wegen der Gruppenaxiome

die Eigenschaft, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte

jedes Element genau einmal vorkommt. Daher sind die Zeilen

der Tafel Permutationen der ersten Zeile und die Spalten

Permutationen der ersten Spalte.

Außer der Identischen Permutation besitzen diese

Permutationen keine Fixpunkte.

Da wir nur 3 Elemente zur Verfügung haben,

sind die Permutationen zyklische Vertauschungen,

d.h. die Grruppe ist isomorph zu \(Z_3\).

Dabei ergibt sich automatisch eine Symmetrie um die Diagonale,

d.h. die Gruppe ist abelsch.

Ich wollte hier zeigen, dass es bis auf die

Bezeichnung der Objekte nur eine solche Gruppe gibt,

auch wenn das nicht gefordert war.

Comments

Vielen Dank! Könnte mir vielleicht noch jemand einen Tipp geben, wie ich alle Gruppenendomorphismen von (H, +_H) finde?

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\(x\) ist offenbar das neutrale Element und wegen

\(y^2=z\) ist \(y\) ein erzeugendes Element.

Jeden Endomorphismus erhält man dadurch, dass man einem

erzeugenden Element ein beliebiges Element zuordnet:

also \(f_1(y)=x,\; f_2(y)=y,\; f_3(y)=z\).

Klar sind wegen der Homorphie-Eigenschaften dann

\(f_1,f_2,f_3\) dadurch eindeutig festgelegt.

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Wie bist du auf y² gekommen?

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In der Verknüpfungstafel steht doch \(y\circ y=z\).

Aber du stolperst sicher darüber, dass ich die Tafel

multiplkativ aufgefasst habe, also ich meine \(y+y=z\)