Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ G gilt: −(x + y) = (−x) + (−y)

Question

Sei G eine abelsche Gruppe.
Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ G gilt: −(x + y) = (−x) + (−y)

Answer 1

Seien x,y ∈ G .

Dann bedeutet doch -(x+y), dass hier das Inverse von x+y gemeint

ist.  Dieses ist dadurch definiert, dass es bei

der Addition zu x+y die 0 ergibt. Also addieren wir (-x)+(-y)

zu x+y und schauen, ob es 0 ergibt. Und das tut es:

(x+y) + ( (-x)+(-y) )   wegen Kommutativität ist das

= ( y+x) + ( (-x)+(-y) )  wegen Assoziativität ist das

= (( y+x) + (-x))    +(-y)  wegen Assoziativität ist das

= ( y+  ( x+ (-x) ) ) +(-y)  Def. des Inversen

= ( y+  0  ) +(-y)      neutr. El

=    y          +(-y)  neutr. El

= 0. Also gibt es in der Tat 0.  q.e.d.