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Aufgabe: Beweise in folgendem die Eigenschaften einer abelsche Gruppe.
Sei \(D\) eine Menge und für jedes \(d \in D\) sei \((G_d,+_d)\) eine abelsche Gruppe. Dann ist \(\bigcap \limits_{d\in D} G_d\) mit

\(+ :\left(\bigcap \limits_{d\in D} G_d\right)\times \left(\bigcap \limits_{d\in D} G_d\right)\to \bigcap \limits_{d\in D} G_d,\ (g,h)\mapsto (d\mapsto g(d)+_d h(d))\)

wieder eine abelsche Gruppe, genannt das direkte Produkt der Menge \(G_d, d\in D\).

Problem: Ich weiß leider nicht, wie ich anfangen soll diese Aussage zu beweisen...

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Du musst nur überlegen wie bzw. dass sich die Gruppenaxiome

von der Gültigkeit in jeder einzelnen Gruppe auf das

direkte Produkt übertragen. Müsste nicht statt des

\(\bigcap \)  sowas wie ein großes X da stehen ?

Ich komme nur absolut nicht drauf, wie ich das machen soll...

1 Antwort

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Beste Antwort

z.B. Abgeschlossenheit:

Wenn g und h aus dem direkten Produkt sind, dann ist

für jedes d die mit d indizierte Komponente gd von g und

von hd von h aus der Gruppe Gd .  Und da  g+h  so definiert ist,

dass jede Komponente von g+d gerade die Summe von gd und hd

in der Gruppe Gd ist, ist wegen der Abgeschlossenheit von Gd

auch gd +d hd  ∈ Gd  .  Also ist für jedes d die mit d indizierte

Komponente g+h in Gd , und damit g+h in dem direkten Produkt.

In der Art kannst du alle Gruppeneigenschaften übertragen.

z.B. ist das neutrale Element des direkten Produktes dasjenige,

was für jedes d∈D die mit d indizierte Komponente ed

(neutrales El. von Gd ) hat.

Avatar von 289 k 🚀

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