z.B. Abgeschlossenheit:
Wenn g und h aus dem direkten Produkt sind, dann ist
für jedes d die mit d indizierte Komponente gd von g und
von hd von h aus der Gruppe Gd . Und da g+h so definiert ist,
dass jede Komponente von g+d gerade die Summe von gd und hd
in der Gruppe Gd ist, ist wegen der Abgeschlossenheit von Gd
auch gd +d hd ∈ Gd . Also ist für jedes d die mit d indizierte
Komponente g+h in Gd , und damit g+h in dem direkten Produkt.
In der Art kannst du alle Gruppeneigenschaften übertragen.
z.B. ist das neutrale Element des direkten Produktes dasjenige,
was für jedes d∈D die mit d indizierte Komponente ed
(neutrales El. von Gd ) hat.