Beweis, dass die folgende Aussage wieder eine abelsche Gruppe ist

Question

Aufgabe: Beweise in folgendem die Eigenschaften einer abelsche Gruppe.
Sei \(D\) eine Menge und für jedes \(d \in D\) sei \((G_d,+_d)\) eine abelsche Gruppe. Dann ist \(\bigcap \limits_{d\in D} G_d\) mit

\(+ :\left(\bigcap \limits_{d\in D} G_d\right)\times \left(\bigcap \limits_{d\in D} G_d\right)\to \bigcap \limits_{d\in D} G_d,\ (g,h)\mapsto (d\mapsto g(d)+_d h(d))\)

wieder eine abelsche Gruppe, genannt das direkte Produkt der Menge \(G_d, d\in D\).

Problem: Ich weiß leider nicht, wie ich anfangen soll diese Aussage zu beweisen...

Comments

Du musst nur überlegen wie bzw. dass sich die Gruppenaxiome

von der Gültigkeit in jeder einzelnen Gruppe auf das

direkte Produkt übertragen. Müsste nicht statt des

\(\bigcap \)  sowas wie ein großes X da stehen ?

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Ich komme nur absolut nicht drauf, wie ich das machen soll...

Answer 1

z.B. Abgeschlossenheit:

Wenn g und h aus dem direkten Produkt sind, dann ist

für jedes d die mit d indizierte Komponente g_d von g und

von h_d von h aus der Gruppe G_d .  Und da  g+h  so definiert ist,

dass jede Komponente von g+d gerade die Summe von g_d und h_d

in der Gruppe G_d ist, ist wegen der Abgeschlossenheit von Gd

auch g_d +_d h_d  ∈ G_d  .  Also ist für jedes d die mit d indizierte

Komponente g+h in G_d , und damit g+h in dem direkten Produkt.

In der Art kannst du alle Gruppeneigenschaften übertragen.

z.B. ist das neutrale Element des direkten Produktes dasjenige,

was für jedes d∈D die mit d indizierte Komponente ed

(neutrales El. von G_d ) hat.