Somit ist -3 keinen Grenzwert, oder?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( a_{n}:=\frac{(n-1)^{3}-(n+2)^{3}}{(n+1)^{2}+2 n^{2}+3}(n \in \mathbb{N}) \)

Für n → unendlich habe ich festgestellt, dass diese Folge nach -3 konvergiert(?).

Für n=1 ist aber a₁ = -3 . Somit ist -3 keinen Grenzwert, oder?

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\frac{(n-1)^3-(n+2)^3}{(n+1)^2+2n^2+3}=\frac{(n^3-3n^2+3n-1)-(n^3+6n^2+12n+8)}{(n^2+2n+1)+2n^2+3}$$$$\phantom{a_n}=\frac{-9n^2-9n-9}{3n^2+2n+4}=\frac{(-9n^2-6n-12)-(3n-3)}{3n^2+2n+4}$$$$\phantom{a_n}=\frac{-3(3n^2+2n+4)}{3n^2+2n+4}-\frac{3n-3}{3n^2+2n+4}=-3-\frac{1-\frac{1}{n}}{n+\frac23+\frac{4}{3n}}$$

Der Grenzwert der Folge ist offensichtlich \((-3)\).

Answer 2

\(a_{n}:=\frac{(n-1)^{3}-(n+2)^{3}}{(n+1)^{2}+2 n^{2}+3}(n \in \mathbb{N}) \)

Mit L´ Hospital:

\( \frac{3(n-1)^2-3(n+2)^2}{2(n+1)+4n} \)=\( \frac{3(n-1)^2-3(n+2)^2}{6n+2} \)=\( \frac{6(n-1)-6(n+2)}{6} \)=\( \frac{(n-1)-(n+2)}{1} \)=-3

Comments

Gute Idee! Spart Tippaufwand. :)

Answer 3

Hallo,

den Grenzwert -3 hast du richtig bestimmt. Die Zahlenfolge ist nicht monoton, sie startet bei -3 fällt zunächst und nähert sich dann von unten dem Grenzwert.

n	\( \frac{(n-1)^{3}-(n+2)^{3}}{2 n^{2}+(n+1)^{2}+3} \)
1	-3
2	-3,15
3	-3,162
4	-3,15
5	-3,135
6	-3,121
7	-3,109
8	-3,099
9	-3,091
10	-3,083

:-)