Aufgabe:
Text erkannt:
Aufgabe 3
Untersuchen Sie, welche der Vektorraumaxiome (V1), (V2) und (V3) erfüllt bzw. nicht erfüllt sind, wenn man auf der Menge \( \mathbb{R}^{2} \) die folgenden Operationen betrachtet:
- Die Addition sei auf die übliche Weise definiert.
- Als Multiplikation \( \odot \) reeller Zahlen mit Elementen des \( \mathbb{R}^{2} \) werde die folgende neue Form definiert:
\( c \odot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} c^{4} \cdot x_{1} \\ -c \cdot x_{2} \end{array}\right) \quad \text { für alle } c \in \mathbb{R},\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \)
Text erkannt:
Untersuchen Sie, welche der Vektorraumaxiome (V1), (V2) und (V3) erfüllt bzw. nicht erfüllt sind, wenn man auf der Menge \( \mathbb{R}^{2} \) die folgenden Operationen betrachtet:
- Die Addition sei auf die übliche Weise definiert.
- Als Multiplikation ๑) reeller Zahlen mit Elementen des \( \mathbb{R}^{2} \) werde die folgende neue Form definiert:
\( c \odot\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c^{4} \cdot x_{1} \\ -c \cdot x_{2}\end{array}\right) \quad \) für alle \( c \in \mathbb{R},\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \)
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
(V1) Assoziativitäl
\( c \cdot\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c \cdot x_{1} \\ c \cdot y_{2}\end{array}\right)=c \cdot\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \)
\( \Rightarrow V_{1} \) ist evfillt.
(v2) Distribativitait
\( \text { c. }\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\text { ? } \)
(V3) Einselement
\( \begin{array}{l} \text { 1. }\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \cdot x_{1} \\ 1 \cdot x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \\ \Rightarrow V_{3} \text { evfüllt } \end{array} \)
Mein Problem ist, dass ich nicht richtig weiß ob ich c * (x1, x2) benutzen soll und dann damit die Axiome überprüfe oder ob ich (c^4*x1,-c*x2) nehmen soll. Vielleicht muss ich auch beides nehmen?
Ist es sonst soweit richtig oder wo sind meine Fehler? Muss ich noch mehr Axiome überprüfen? Soweit ich das verstanden habe, muss ich nichts über die Addition überprüfen weil diese schon definiert ist?
Auch weiß ich nicht was ich bei der Distributivität überprüfen soll, da es ja eigentlich 2 Verknüpfungen (*, +) braucht und ich nur * hier sehe.
Vielleicht könnt ihr mir helfen.
