Berechnen Sie den Grenzwert für an = √(n) · (√(n+a)-√(n)), a ∈ R, n ≥ a.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert für an = √(n) · (√(n+a)-√(n)), a ∈ R, n ≥ a.

Hinweis: a² - b² = (a+b)·(a-b)

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\sqrt{n}\cdot(\sqrt{n+a}-\sqrt n)=\sqrt{n}\cdot\frac{(\sqrt{n+a}-\sqrt n)(\sqrt{n+a}+\sqrt n)}{(\sqrt{n+a}+\sqrt n)}$$$$\phantom{a_n}=\sqrt{n}\cdot\frac{(\sqrt{n+a})^2-(\sqrt n)^2}{(\sqrt{n+a}+\sqrt n)}=\sqrt{n}\cdot\frac{n+a-n}{(\sqrt{n+a}+\sqrt n)}=\sqrt{n}\cdot\frac{a}{(\sqrt{n+a}+\sqrt n)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{a\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n\left(1+\frac an\right)}+\sqrt n\right)}=\frac{a\sqrt{n}}{\left(\sqrt n\cdot\sqrt{1+\frac an}+\sqrt n\right)}=\frac{a\sqrt{n}}{\sqrt n\left(\sqrt{1+\frac an}+1\right)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{a}{\sqrt{1+\frac an}+1}\to\frac{a}{\sqrt{1+0}+1}=\frac a2$$