Zeigen Sie, dass lim n→∞ (1 - 1/n^2)^n = 1

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass lim_n→∞ (1 - 1/n²)ⁿ = 1 ist.

Hinweis: Beachten sie a² - b² = (a+b)·(a-b) und lim_n→∞ (1 + x/n)ⁿ = e^x

Problem/Ansatz:

Answer 1

lim (n → ∞) (1 - (1/n)^2)^n

= lim (n → ∞) ((1 + 1/n)·(1 - 1/n))^n

= lim (n → ∞) (1 + 1/n)^n·(1 - 1/n)^n

= e^1 * e^(-1) = e^0 = 1

Answer 2

Hallo :-)

Hier ein Ansatz, ohne das ich den Hinweis nutze. Nach der Bernoullie-Ungleichung ist zunächst

$$\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\geq 1-n\cdot \frac{1}{n^2}=1-\frac{1}{n}$$

und es gilt \(\lim\limits_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)=1\).

Ferner ist für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\) auch \(1-\frac{1}{n^2}\leq 1\), also erst recht \(\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\leq 1^n=1\).

Damit folgt \(\lim\limits_{n\to \infty }\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=1\).