Bijenktion zwischen ganzen und natürlichen Zahlen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass die Abbildung
\( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}_{0}, x \mapsto\left\{\begin{aligned} 2 x, & \text { falls } x \geq 0 \\ -2 x-1, & \text { falls } x<0 \end{aligned}\right. \)
eine bijektive Abbildung ist.

Problem/Ansatz:

Können Sie mir bitte erklären, wie ich diese Aufgabe lösen kann?

Answer 1

1. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
2. Zeige, dass die Abbildung surjektiv ist.

Zu 1. Seien \(x_1, x_2\in \mathbb{Z}\) mit \(f(x_1) = f(x_2)\). Begründe warum dann \(x_1 = x_2\) ist.

Tipp. \(2x\) ist durch \(2\) teilbar für alle \(x\in \mathbb{Z}\) und \(-2x-1\) ist nicht durch \(2\) teilbar für alle \(x\in \mathbb{Z}\).

Zu 2. Sei \(y\in \mathbb{N}_0\). Begründe, dass es ein \(x\in \mathbb{Z}\) gibt, so dass \(f(x) = y\) ist.

Tipp. Mache eine Fallunterscheidung je nach dem ob \(y\) durch \(2\) teilbar ist oder nicht.

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Vielen Dank für Ihre Hilfe.