Bijenktion zwischen ganzen und natürlichen Zahlen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass die Abbildung
$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}_{0}, x \mapsto\left\{\begin{aligned} 2 x, & \text { falls } x \geq 0 \\ -2 x-1, & \text { falls } x<0 \end{aligned}\right.$
eine bijektive Abbildung ist.

Problem/Ansatz:

Können Sie mir bitte erklären, wie ich diese Aufgabe lösen kann?

Answer 1

1. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
2. Zeige, dass die Abbildung surjektiv ist.

Zu 1. Seien $x_1, x_2\in \mathbb{Z}$ mit $f(x_1) = f(x_2)$. Begründe warum dann $x_1 = x_2$ ist.

Tipp. $2x$ ist durch $2$ teilbar für alle $x\in \mathbb{Z}$ und $-2x-1$ ist nicht durch $2$ teilbar für alle $x\in \mathbb{Z}$.

Zu 2. Sei $y\in \mathbb{N}_0$. Begründe, dass es ein $x\in \mathbb{Z}$ gibt, so dass $f(x) = y$ ist.

Tipp. Mache eine Fallunterscheidung je nach dem ob $y$ durch $2$ teilbar ist oder nicht.

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Vielen Dank für Ihre Hilfe.