Komplexe Zahlen Beweis...

Question

Für w ∈ ℂ mit w + |w| ≠ 0 definieren wir

z = \( \sqrt{|w|} \)\( \frac{w+|w|}{|w+|w||} \)

Man soll zeigen, dass z^2 = w gilt. Freue mich total über einen Lösungsweg :)

Answer 1

Hallo,

man kann hier w=x+iy setzen und ausmultiplizieren.

Etwas kompakter geht es, wenn man direkt komplex rechnet und benutzt, dass \(|w|^2=ww'\), wobei ich mit w' das konjugiert komplexe Element bezeichne.

Ich betrachte das Quadrat des Zählers mit dem Vorfaktor |w|:

$$|w|(w+|w|)^2=|w|(w^2+2w|w|+ww')=(w|w|+2|w|^2+|w|w')w$$

$$=(w+|w|)(w'+|w|)w$$

Nach Kürzen mit dem quadrierten Nenner bleibt w.

Gruß Mathhilf