Zeigen Sie, dass U_{1} und U_{2} jeweils Untervektorräume von V sind.

Question

Ich stehe bei dieser Tutoriumsaufgabe total auf dem Schlauch. Kann mir jemand die Aufgabe vormachen? Ich habe eine sehr ähnliche Hausaufgabe, die ich bearbeiten muss, aber schicke lieber die Tutoriumsaifgabe rein, da ich die Hausaufgabe selbst lösen will. Vielen Dank im Voraus!

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=\mathbb{R}^{4} \) sowie die beiden Teilmengen

U1:={(a+b+c, b, c, 0): a, b, c ∈ ℝ } ⊂ V

und

U2 :={v ∈ V: ∃k ∈ ℝ: v+k * (1,1,1,1)=(0,0,0,0)} ⊂ V

(a) Zeigen Sie, dass \( U_{1} \) und \( U_{2} \) jeweils Untervektorräume von \( V \) sind.
(b) Zeigen Sie \( V=U_{1} \oplus U_{2} \).

Comments

Ich weiß, dass für Aufgabe (a) diese drei Bedingungen erfüllt sein müssen:

(i) 0 ∈ U;
(ii) für u, v ∈ U folgt stets u + v ∈ U;
(iii) für a ∈ F und u ∈ U folgt stets au ∈ U.

Dennoch komme ich irgendwie nicht voran...