Hallo,
ich fange mal an:
Bei der ersten Aufgabe: Umformen bis der Ausdruck sich beurteilen lässt:
$$\frac{x-1/x}{x-2+1/x}=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1} \to - \infty$$
Der Zähler geht gegen 2 der Nenner gegen 0, mit negativen Werten.
Bei den beiden folgenden Aufgaben gehe ich davon aus, dass die Information
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$$
bekannt ist. Damit
$$\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{x^2(1+\cos(x))}=\frac{(1-\sin(x))^2}{x^2(1+\cos(x))}$$
$$=\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2\frac{1}{1+\cos(x)} \to 1 \cdot \frac{1}{2}$$
Die nächste Aufgabe erledigt sich durch die Substituion y=1/x, wobei dann y gegen 0 geht.
Für die nächste Aufgabe benutzt man die allgemeine Umformung
$$a-b=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}$$
und dann im Zähler eine binomische Formel. Für a,b nimmt man die beiden Wurzeln und erhält - nach Vereinfachen:
$$\frac{-3x+1-(3x-1)}{x(\sqrt{1+ \ldots}+\sqrt{1+\ldots})} \to \frac{-6}{1+1}$$
Gruß Mathhilf
