Extremwertaufhabe | 4. Grades | Seitenlängen von Rechteck und den maximalen Flächeninhalt berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{25} x^{4}-\frac{2}{3} x^{2}+\frac{9}{5} \), deren Graph mit der \( x \)-Achse im I. und II. Quadranten eine Fläche einschließt. Dieser Fläche soll ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben werden.
a) Berechnen Sie, für welche Seitenlängen man das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt erhält.
b) Wie groß ist der maximale Flächeninhalt und wie lang sind dann die Rechteckseiten?

Problem/Ansatz:

A = (-x | 0)
B = (x | 0)
C = (x | f(x))
D = (-x | f(x))

a = Bx - Ax
a = x - (- x) = 2x

b = Cx - Bx
b = f(x) - 0 = f(x)

Dann die Rechtecksfläche:

A(x) = a * b = x - (- x) * f(x) - 0 = 2x * f(x)

f(x) einsetzen A(x):

A(x) = 2x * (1/25x^4 - 2/3x^2 + 9/5)
A(x) = 2/25x^5 - 4/3x^3 + 18/5x

Dann vermute ich, dass der Hochpunkt gesucht wird, aber komme da nicht weiter. Ich brauche dafür die 1. Ableitung, nachdem ich diese aufgeschrieben habe, kommt eine Funktion 4 Grades raus. Dann hab ich eine Polynomdivison gemacht, aber das Ergebnis ist 0 und das kann ja nicht stimmen oder?

Comments

Leite A(x) ab und substituiere: x^2=z

Löse dann die quadratische Gleichung mit der pq-Formel, nachdem

du den Faktor vor x^2 beseitigt hast.

Answer 1

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{25} x^{4}-\frac{2}{3} x^{2}+\frac{9}{5} \), deren Graph mit der \( x \)-Achse im I. und II. Quadranten eine Fläche einschließt. Dieser Fläche soll ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben werden.

a) Berechnen Sie, für welche Seitenlängen man das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt erhält.

A(u)=2u*(1/25u^4-2/3u^2+9/5)=2/25u^5-4/3u^3+18/5u

A´=2/5u^4-4u^2+18/5

2/5u^4-4u^2+18/5=0|*5/2

u^4-10u^2+9=0

u^4-10u^2=-9

(u^2-5)^2=-9+25=16|\( \sqrt{} \)

1.)u^2-5=4

u^2=9

u₁=3 (kommt nicht in Betracht, weil Rechteck im 1. und 2.Quadranten liegt

u₂=-3 (entfällt , weil es keine negativen Längen gibt)

2.)u^2-5=-4

u^2=1

u₃=1     f(1)=1/25-2/3+9/5 =88/75

u₄=-1 s.o.

b) "Wie groß ist der maximale Flächeninhalt und wie lang sind dann die Rechteckseiten?"

A(1)=2/25-4/3+18/5=176/75

a=2    b=88/75

Answer 2

Die resultierende Gleichung vierten Grades hat die Form  a x⁴ + b x² + c = 0 .

Substituiert man da  u:= x² , ergibt sich eine einfache quadratische Gleichung für die Hilfsvariable u mit (für den vorliegenden Fall) sehr schönen und einfachen Lösungen.

Comments

ah stimmt :D Daran hab ich gar nicht mehr gedacht. Vielen Dank, ich versuche es