Definiere zuerst \( u' = \cos(x) \) und \( v = e^x \) dann folgt \( u = \sin(x) \) und \( v' = e^x \) also
$$ \int \cos(x) e^x dx = \int u' v dx = u v - \int v' u dx = \sin(x) e^x - \int \sin(x) e^x dx $$ nochmal partiell integrieren, jetzt mit \( u' = \sin(x) \) und \( v = e^x \) ergibt für
$$ \int \sin(x) e^x dx = -\cos(x) e^x + \int \cos(x) e^x dx $$
Alles zusammengefasst gibt
$$ \int_0^1 \cos(x) e^x dx = \left[ \sin(x) e^x + \cos(x) e^x \right] \big|_0^1 - \int_0^1 \cos(x) e^x dx $$
und damit $$ 2 \int_0^1 \cos(x) e^x = ( \sin(1) + \cos(1) ) e - 1 $$ also
$$ \int_0^1 \cos(x) e^x = \frac{ ( \sin(1) + \cos(1) ) e - 1 } { 2 } $$
