Elementarmathematik in Klasse 12

Question

9. Der Graph einer Funktion 3. Ordnung geht durch \( O(0 / 0) \) und hat in \( W(1 /-2) \) eine Wendetangente mit dem Anstieg \( 2 . \)

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Und was ist dazu Deine Frage?

Answer 1

Hallo,

nutze die im Aufgabentext angegeben Bedingungen, um ein Gleichungssystem zu erstellen,

\( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \)
\( f'(x)=3 a x^{2}+2 b x+c \)
\( f^{\prime \prime}(x)=6 a x+2 b \)

\( f(0)=0 \Rightarrow \quad d=0 \)

\( f^{\prime \prime}(1)=0 \Rightarrow \quad 6 a+2 b=0 \)

\( f(1)=-2 \Rightarrow \quad a+b+c=-2 \)

\( f^{\prime}(1)=2 \Rightarrow \quad 3 a+2 b+c=2 \)

mit dem du dann die Parameter a, b und c bestimmst, um die Funktionsgleichung zu erhalten.

Gruß, Silvia

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Was soll f_f in der 2. Zeile bedeuten?

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Latex hat aus meinem Apostroph ein f gemacht. Danke, ich korrigiere das.

Answer 2

Hallo,

Der Graph eines kubischen Polynoms ist immer punktsymmerisch zu seinem Wendepunkt. D.h. bezogen auf den Wendepunkt \((x-x_w)\) können in dem Polynom nur ungerade Exponenten auftauchen. Mit dem Wendepunkt \((x_w,y_w)\) lässt sich daher schreiben:$$f(x)=a(x-x_w)^3 + b(x-x_w) + y_w$$mit \(+y_w\) wird der Graph lediglich so weit vertikal verschoben, dass die gewünschte Koordinate des Wendepunkts erreicht wird.

Weiter ist folglich$$f'(x) = 3a(x-x_w) + b \implies f'(x_w)=b$$Daher kann man mit den hier gegebenen Information das \(f(x)\) bis auf die Unbekannte \(a\) sofort hinschreiben:$$f(x)= a(x-1)^3 + 2(x-1) - 2$$aus "geht durch \( O(0 / 0) \)" folgt \(f(0)=0\) bzw.:$$f(0)=-a - 2 - 2 = 0 \implies a = -4$$und der fertige Graph:

~plot~ -4(x-1)^3+2(x-1)-2;{1|-2};2(x-1)-2 ~plot~

Gruß Werner