LInear unabhängig - Lambda bestimmen

Question

Seien K ein Körper, V ein K–Vektorraum und v1, v2 ∈ V zwei linear unabhängige Vektoren. Für welche λ ∈ K sind die Vektoren λv1 + v2

und v1 + λv2 linear unabhängig?
Wie kann ich in dieser Konstellation bestimmen, für welches λ die Vektoren linear unabhängig sind?Würde mich über einen Rechenweg mit kurzer Erklärung sehr freuen.

Answer 1

Für die Linearkombination $$ \alpha (\lambda v_1 + v_2 ) + \beta ( v_1 + \lambda v_2 ) = 0 $$ gilt

$$ ( \alpha \lambda + \beta) v_1 + (\alpha + \beta \lambda) v_2 = 0 $$ Da \( v_1 \) und \( v_2 \) linearunabhängig sind folgt

$$ \alpha \lambda + \beta = 0 $$ und

$$  \alpha + \beta \lambda = 0 $$

Also hat man das lineare Gleichungssystem $$ \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Die Determinate von $$ \det { \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix} } = \lambda^2 - 1 $$ und die ist nur \( \ne 0 \) für \( \lambda \ne \pm1 \)

Also sind die Vektoren für \( \{ \lambda \in \mathbb{R} \ | \ \lambda \ne \pm 1\} \) linearunabhängig.

Answer 2

Sei \(0=\mu_1(v_1+\lambda v_2)+\mu_2(\lambda v_1+v_2)=\)

\(=(\mu_1+\lambda\mu_2)v_1+(\lambda\mu_1+\mu_2)v_2\).

Da \(v_1,v_2\) linear unabhängig sind, folgt das Gleichungssystem

\(1\cdot \mu_1+\lambda\cdot \mu_2=0\)

\(\lambda\cdot \mu_1+1\cdot \mu_2 = 0\).

Dies System hat genau dann eine Lösung \((\mu_1,\mu_2)\neq (0,0)\),

wenn \(\lambda^2=1\), also \(\lambda\in \{\pm1\}\).

\(v_1+\lambda v_2, \lambda v_1+v_2\) sind somit genau dann linear

unabhängig, wenn \(\lambda\notin\{\pm 1\}\).