Extremstellen und Wendestellen von f(x) = 3/32*x^3 - 9/16*x^2 + 3

Question

Aufgabe:

Die Folgende Zeichnung zeigt den Graphen der Funktion f mit 3/32*x^3 - 9/16x^2 + 3

a) Die Tangente an den Graphen an der Stelle x = 2 schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

b) Zeichnen Sie die Gerade durch die beiden Extrempunkte in die obige Zeichnung ein.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass diese Gerade nicht mit der Wendetangente überreinstimmt.

c) Der Graph schließt zwischen x = 0 und x =4 mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.

Ermitteln Sie die Größe dieser Fläche auf möglichst geschickte Weise.

Problem/Ansatz:

Extremstellen habe ich schonmal ausgerechnet.

Answer 1

Die Folgende Zeichnung zeigt den Graphen der Funktion f mit 3/32*x^3 - 9/16x^2 + 3
a) Die Tangente an den Graphen an der Stelle x = 2 schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

f(x)=3/32*x^3 - 9/16x^2 + 3

f(2)=3/32*2^3 - 9/16*2^2 + 3=1,5

f´(x)=9/32*x^2-9/8x

f´(2)=9/32*2^2-9/8*2=-9/8

Tangentengleichung:

\( \frac{y-1,5}{x-2} \)=-\( \frac{9}{8} \)   

y=-\( \frac{9}{8} \)*x+\( \frac{9}{4} \) +1,5=-\( \frac{9}{8} \)*x+3,75

y(0)=-\( \frac{9}{8} \)*0+3,75=3,75

Nullstelle der Tangente

\( \frac{0-1,5}{x-2} \)=-\( \frac{9}{8} \)    →  x=\( \frac{4}{3} \)

Dreiecksfläche:

A=\( \frac{4}{3} \)*3,75/2=2/3 *3,75=2,5

Answer 2

a) Die Tangente an den Graphen an der Stelle x = 2 hat die Steigung

f ' (2)  und geht durch den Punkt ( 2 ; f(2) ).

Damit die Geradengleichung bestimmen und x- und y-Achsenabschnitt

ausrechnen. Das Produkt der Beträge durch 2 teilen und

du hast die Dreiecksfläche.