Beweisen Sie, dass A \subset f^{-1}(f(A)) .

Question

Aufgabe:

Es seien \( M \) und \( N \) beliebige nichtleere Mengen und \( f: M \rightarrow N \) eine Abbildung, Weiter sei \( A \) eine beliebige Teilmenge von \( M \). Beweisen Sie, dass \( A \subset f^{-1}(f(A)) \).

Answer 1

Wenn A=∅, dann ist A Teilmenge jeder Menge, also alles ok.

Anderenfalls: Sei x∈A. Zu zeigen x ∈  \(f^{-1}(f(A)) \).

Da A⊆M gilt x∈M und wegen f:M→N gibt es y∈N mit f(x)=y.

Damit ist y∈f(A) und y besitzt das Urbild x, also

x∈ \(f^{-1}(f(A)) \).

Answer 2

Hallo :-)

Sei \(a\in A\). Betrachte \(y:=f(a)\). Dann gilt \(y=f(a)\in f(A)\).

Dann ist \(a\in f^{-1}(y)=f^{-1}(f(a))\).