Zeigen Sie V=U_{1} \oplus U_{2} .

Question

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=\mathbb{R}^{4} \) sowie die beiden Teilmengen

U1:={(a+b+c, b, c, 0): a, b, c ∈ ℝ } ⊂ V

und

U2 :={v ∈ V: ∃k ∈ ℝ: v+k * (1,1,1,1)=(0,0,0,0)} ⊂ V

Zeigen Sie \( V=U_{1} \oplus U_{2} \).

Habe das erste Mal mit der direkten Summe zutun und raffe überhaupt nix. :(

Answer 1

Wegen

\((a+b+c,b,c,0)=a(1,0,0,0)+b(1,1,0,0)+c(1,0,1,0)\) ist

\(U_1=Span((1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,0,1,0))\).

\(U_2\) wird im Aufgabentext möglichst verwirrend definiert,

es ist aber nach kleiner Überlegung ersichtlich

\(U_2=Span((1,1,1,1))\).

Die vier genannten Vektoren \((1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,1,1,1)\)

sind (wie man durch "scharfes Hingucken" erkennt) linear unabhängig.

Da es vier linear unabhängige Vektoren in einem 4-dimensionalen

Raum sind, bilden sie eine Basis, also i.b. ein Erzeugendensystem.

Damit ergibt sich schon mal \(V=U_1+U_2\).

Nun überlege dir, dass \(U_1\cap U_2=\{0\}\) ist, dann bist du

fertig.

Comments

Besten Dank! :)