Linienintegral für eine Gerade

Question

ich muss ein Linienintegral berechnen und zwar von P1(-3/-3) nach P2(-3/1).

Das Kraftfeld ist konservativ.

Über eine Ansatz wäre ich dankbar!

Comments

Wie lautet denn das Kraftfeld?

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Entschuldigung, das muss ich natürlich dazu sagen!

F = (-ky, -kx)

Answer 1

Aloha :)

Hier ist das Integral besonders einfach, weil sich \(x\) auf dem Weg von \(P_1(-3|3)\) nach \(P_2(-3|1)\) gar nicht ändert.

$$E=\!\!\!\int\limits_{(-3|3)}^{(-3|1)}\!\!\!\vec F\,d\vec r=-k\!\!\!\int\limits_{(-3|3)}^{(-3|1)}\!\!\!\binom{y}{x}\,\binom{dx}{dy}=-k\!\!\!\int\limits_{(-3|3)}^{(-3|1)}\!\!\!(y\,dx+x\,dy)=-k\!\!\!\int\limits_{(-3|3)}^{(-3|1)}\!\!\!y\,dx-k\!\!\!\int\limits_{(-3|3)}^{(-3|1)}\!\!\!x\,dy$$Das erste Integral ist \(=0\), weil \(dx=0\) ist, im zweiten Integral ist \(x=-3\) konstant:$$\phantom{E}=-k\int\limits_3^1(-3)dy=3k\left[y\right]_3^1=3k(1-3)=-6k$$

Comments

Vielen Dank schon einmal!

Änderung: !

Wie rechne ich/welche Schreibweise verwende ich, wenn der weg über zwei geraden geht, die beide achsenparallel sind?

Addiere ich am Ende einfach?

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Ja, du kannst den Weg in zwei Teile aufspalten:$$\binom{-3}{3}\to\binom{-2}{3}\to\binom{-2}{1}$$Das wäre dann:

$$E=\!\!\!\int\limits_{(-3|3)}^{(-3|1)}\!\!\!\vec F\,d\vec r=-k\!\!\!\int\limits_{(-3|3)}^{(-2|3)}\!\!\!\binom{y}{x}\,\binom{dx}{dy}-k\!\!\!\int\limits_{(-2|3)}^{(-2|1)}\!\!\!\binom{y}{x}\,\binom{dx}{dy}$$Im ersten Integral ist \(y=3\) und \(dy=0\). Im zweiten Integral ist \(x=-2\) und \(dx=0\):$$\phantom{E}=-k\int\limits_{-3}^{-2}3\,dx-k\int\limits_3^1(-2)dy=-3k[x]_{-3}^{-2}+2k[y]_{3}^1$$$$\phantom{E}=-3k(-2+3)+2k(1-3)=-3k-4k=-7k$$

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Ich danke dir! :)