Finden Sie die Polynome P ∈ R[X] so daß (X+4)P(X)=XP(X+1).

Question

Aufgabe:

Finden Sie die Polynome P ∈ R[X] so daß (X+4)P(X)=XP(X+1).

Viel habe ich bisher nicht bis auf:

Das Polynom muss eine Nullstelle bei X=0 haben.
(0+4)P(0)=0P(0+1)⇔P(0)=0

Außerdem muss jede negative ganze Zahl eine Nullstelle sein.
(−1+4)P(−1)=−1P(−1+1)=−P(0)
P(−1)=0

Das Polynom muss hat also unendlich Nullstellen? Es muss wahrscheinlich durch irgendeine Summe ausgedrückt werde, da es von Grad unendlich ist??

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/$$(x+4)\cdot p(x)=x\cdot p(x+1)$$Da kommt mir sofort Folgendes in den Sinn:$$(x+4)\cdot \underbrace{x(x+1)(x+2)(x+3)}_{=p(x)}=x\cdot\underbrace{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}_{=p(x+1)}$$Dazu kann man auf beiden Seiten noch eine beliebige Konstante multiplizieren, die auch \(=0\) sein darf, weil \(p(x)=0\) die Gleichung ebenfalls erfüllt:$$p(x)=a\cdot x(x+1)(x+2)(x+3)\quad;\quad a\in\mathbb R$$

Comments

Ma gawd, wie cool danke :) Ich bin dir unendlich dankbar, kann ich dir Geld auf Paypal überweisen lol? Wie kommt man nur dadrauf :D Naja danke