Bestimmen Sie alle Polynome P ∈ R[x] so, dass xP(x) = (x − 3)P(x + 1).

Question

Aufgabe:

… Bestimmen Sie alle Polynome P ∈ R[x] so, dass xP(x) = (x − 3)P(x + 1).

Problem/Ansatz:

… Erstmal habe ich einfach ein wenig ausprobiert. Also habe ich eine Nullstelle bei x=0 gefunden, 0*P(0) = (0-3)*P(0+1), dann müsste gelten 0=-3*P(1). Also P(1)=0. Das gleiche habe ich aber auch für x=1 und x=2 gefunden. Denn für x=1 müsste dann nach meiner Rechnung 1*P(1) = 0 = -2*P(2) und somit P(2)=0 gelten und dann wäre bei x=1 eine Nullstelle und dann auch bei x=2 usw. Habe ich hier irgendein ein Denkfehler?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen. :)

Comments

Habe ich hier irgendein ein Denkfehler?

Der liegt möglicherweise im "usw", je nach dem wie du weiter gedacht hast.

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Ich meinte damit, dass nach meiner Rechnung dann P(2)=0, dann P(3)=0, P(4)=0... sein müsste also quasi für alle x die man da einsetzen sich immer weiter daraus schließen lassen würde das das dann eine Nullstelle sein müsste.

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Ich ahnte es.

P(4)=0   Dafür gibt es keinen Grund

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Ja da hast du recht. Wenn man für x=3 einsetzt kriegt man nur wieder raus, dass P(3)=0 ist und somit muss für P(4) nicht P(4)=0 gelten. Dann wäre nach meiner Berechnung die Nullstellen : x=1, x=2 und x=3 und könntest du mir vielleicht einen kleinen Tipp geben wie genau ich jetzt dieses Polynom bestimmen soll.

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Du hast ja immerhin schon mal drei Nullstellen von P, also kannst du in jedem Fall schreiben
P(x) = (x-1)*(x-2)*(x-3)*Q(x) und jetzt setzt du die gegebene Eigenschaft von P ein, um etwas über Q herauszufinden.

Answer 1

Hallo

nein du hast keinen Denkfehler sondern gut geschlossen (vielleicht mit Induktion zeigen?) und kannst das Polynom als Produkt über die (x-n) schreiben.

Gruß lul